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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

Seja f x = e x + e - x 2 . Calcule o comprimento da curva y = f ( x ) de ( 0 ,   f 0 ) à ( 1 ,   f ( 1 ) ) .

Passo 1

Para começar, vamos lembrar da fórmula para calcular o comprimento de arco em um intervalo.

c = ∫ a b 1 + f ' ( x ) ² d x

Nessa questão, queremos o comprimento de x = 0 a x = 1 . Então teremos:

c = ∫ 0 1 1 + f ' ( x ) ² d x

Passo 2

Precisamos achar f ' ( x ) pra aplicar na fórmula acima. Então vamos nessa!

f x = e x + e - x 2

f ' ( x ) = 1 2 e x + e - x ' = e x - e - x 2

Passo 3

Agora é só aplicar f ' ( x ) na fórmula do comprimento e ser feliz!

c = ∫ 0 1 1 + e x - e - x 2 2 d x

c = ∫ 0 1 1 + e 2 x - 2 e 0 + e - 2 x 4 d x

c = ∫ 0 1 e 2 x + 2 + e - 2 x 4 d x

c = ∫ 0 1 ( e x + e - x ) 2 4 d x

Passo 4

Sabemos que

∫ ( e x + e - x ) 2 4 d x = ∫ e x + e - x 2 d x

Agora que vem o pulo do gato! Lembra que

e x + e - x 2 = cosh ⁡ x

Então

∫ e x + e - x 2 d x = ∫ cosh ⁡ x d x = senh ⁡ x + C

Passo 5

Agora resolvendo a integral definida temos

c = ∫ 0 1 cosh ⁡ x d x = senh ⁡ x 0 1 = senh ⁡ 1 - senh ⁡ 0 = senh ⁡ 1 = e - e - 1 2

Resposta

e - e - 1 2

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