Determine o comprimento das curvas abaixo:

  1. A parábola y = x^2 / 2; 0 ≤ x ≤ 1
  2. O cardioide r = 1 + s * sen θ; 0 ≤ θ ≤ 2 * pi

Passo 1

Meus consagrados, lá vamos nós com comprimento de arco. É sempre bom ter uma ideia das curvas por isso pus abaixo os gráficos. O problema se trata basicamente de aplicar a integral de comprimento de arco para coordenadas retangulares ( x , y ) sendo ela:

                                                                  L = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

  1. Sabendo que:

d y d x = d d x x 2 2 = x

A fórmula do comprimento de arco fica:

L = ∫ 0 1 1 + y ' 2 d x = ∫ 0 1 1 + x 2 d x

Agora, utilizaremos a substituição biunívoca:

x = tan ⁡ t

d x = sec 2 ⁡ t   d t

com o respectivo intervalo de integração. Assim,

L = ∫ 0 π 4 1 + t g 2 t   sec 2 ⁡ t d t = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ t   sec 2 ⁡ t d t

= ∫ 0 π 4 | sec ⁡ t | sec 2 ⁡ t d t

Para t ∈ [ 0 , π / 4 ] , sec ⁡ t > 0 , logo:

L = ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t d t

A qual resolveremos por integração por partes, definindo:

u = sec ⁡ t d v = sec 2 ⁡ t d t     ⇒   d u = sec ⁡ t tan ⁡ t d t v = tan ⁡ t

Assim,

L = [ sec ⁡ t tan ⁡ t ] 0 π / 4 - ∫ 0 π 4 sec ⁡ t tan 2 ⁡ t d t =   2 - ∫ 0 π 4 sec ⁡ t ( sec 2 ⁡ t - 1 ) d t =  

= 2 - ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t d t ⏟ = L + ∫ 0 π 4 sec ⁡ t d t   = 2 2 + 1 2 [  ln ⁡ sec ⁡ t   + tan ⁡ t   ] 0 π 4      

onde passamos - L para o outro lado e dividimos por 2. Por fim, substituindo os valores:

L = 2 2 + 1 2 ln ⁡ ( 1 + 2 ) - 1 2 ln ⁡ 1 ⇒ L = 2 2 + 1 2 ln ⁡ ( 1 + 2 )

Resposta

  1. L = 2 2 + 1 2 ln ⁡ ( 1 + 2 )  

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