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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 14b

Calcule o comprimento do arco de curva sobre o intervalo

y   =   l n ( x ) sobre [ 1,2 ]

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos calcular o tamanho de uma curva. Nessa questão, a nossa curva é descrita pela equação

y   =   l n ( x ) sobre [ 1,2 ]

Lembram qual é a fórmula de comprimento de uma curva dada pela função f ( x ) ? Vamos revisar

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

Lembraram? Boa!!! Então vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos calcular a derivada da nossa função f ( x ) .

d d x (   l n ( x )   )   =   1 / x

Então o comprimento da nossa curva fica:

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

substituindo f

=   ∫ 1 2 1   +   ( 1 / x ) 2 d x

tirando o mmc

  = ∫ 1 2 x 2 + 1 x 2 d x

Passo 3

Para podermos finalizar a questão, precisamos calcular

  = ∫ 1 2 x 2 + 1 x 2 d x

Bem, vamos fazer uma substituição trigonométrica, mas qual? Que tal

x   =   t g ( u )   ⇒   d x   =   s e c 2 ( u ) d u

  ⇒ = ∫ x 2 + 1 x 2 =   ∫ ( t g 2 ( u ) + 1 ) / ( t g 2 ( u ) ) * s e c 2 ( u ) d u

Usando o fato que t g 2 ( u )   +   1   =   s e c 2 ( u )

=   ∫ s e c 2 ( u ) / ( t g 2 ( u ) ) * s e c 2 ( u ) d u

tirando da raiz

=   ∫ s e c 3 ( u ) t g ( u ) d u

simplificando

=   ∫ s e c 2 ( u ) s i n ( u ) d u

reescrevendo fica

  = ∫ ( t g 2 ( u ) + 1 ) s i n ( u ) d u

  = ∫ 1 s i n ( u )   +   t g ( u ) s e c ( u ) d u

Passo 4

No passo anterior, chegamos a conclusão que a distância da nossa curva podia ser dada como

∫ 1 2 x 2 + 1 x 2 d x

fazendo as manipulações chegamos a conclusão que

  ∫ x 2 + 1 x 2 = ∫ 1 s i n ( u )   +   t g ( u ) s e c ( u ) d u

Agora precisamos continuar desenvolvendo a

∫ 1 s i n ( u )   +   t g ( u ) s e c ( u ) d u

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Então:

fazendo s   =   c o s ( u )   ⇒ d s   =   - s i n ( u ) d u

⇒ ∫ t g ( u ) s e c ( u ) d u   =   - ∫ 1 s 2 d s

=   1 s

retornando para a variável u

=   s e c ( u )

Passo 5

Agora vamos resolver a outra integral. Essa é bem trabalhosa, mas se formos aos poucos conseguiremos fazer!!!! Queremos ∫ 1 s i n ( u ) d u

lembrando que 1 s i n ( u )   =   c s c ( u ) (co-secante) e 1 t g ( u )   =   c t g ( u ) (co-tangente)

Iremos multiplicar e dividir por c t g ( u )   +   c s c ( u ) então:

∫ 1 s i n ( u ) d u =   ∫ c s c ( u )   c t g ( u )   +   c s c ( u )   c t g ( u )   +   c s c ( u ) d u

= ∫   c s c ( u ) c t g ( u )   +   c s c 2 ( u )   c t g ( u )   +   c s c ( u ) d u

fazendo s   = c t g ( u )   +   c s c ( u ) ⇒ d s   = - c s c ( u ) c t g ( u )   -   c s c 2 ( u ) d u    

então nossa integral fica

∫   c s c ( u ) c t g ( u )   +   c s c 2 ( u )   c t g ( u )   +   c s c ( u ) d u =   - ∫ 1 s d u

= - l n ( s )

Retornando para a variável u

= l n ( c t g ( u )   +   c s c ( u ) )

Com isso chegamos a conclusão que

∫ 1 s i n ( u )   +   t g ( u ) s e c ( u ) d u   =   s e c ( u ) + l n ( c t g ( u )   +   c s c ( u ) )

Passo 6

Agora só precisamos retornar para a variável x e calcular a integral para 1 ≤ x ≤ 2 .

Fizemos x = t g ( u )   ⇒   u   =   t g - 1 ( x ) . Logo

s e c ( u ) + l n ( c t g ( u )   +   c s c ( u ) ) =   s e c ( t g - 1 ( x ) )   +   l n ( c t g ( t g - 1 ( x ) ) + c s c ( t g - 1 ( x ) ) )

Então o comprimento da nossa curva é:

∫ 1 2 x 2 + 1 x 2 d x = s e c ( t g - 1 ( x ) )   +   l n ( c t g ( t g - 1 ( x ) ) + c s c ( t g - 1 ( x ) ) ) | x = 1 x = 2

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu um baita trabalho, a integral é tão complicada que não conseguimos simplificar a expressão final!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

s e c ( t g - 1 ( x ) )   +   l n ( c t g ( t g - 1 ( x ) ) + c s c ( t g - 1 ( x ) ) ) | x = 1 x = 2

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