O comprimento da curva y = l n ⁡ ( 4   s e c x ) , 0 ≤ x ≤ π 4 é

Passo 1

Essa parte é tranquilinha!! Por que é só aplicar uma fórmulinha tranquila. Então bora lá

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Onde a = 0 e b = π 4 .

Passo 2

Vamos então precisar encontrar nossa derivada

f ' x = 1 4 s e c x × 4 s e c x   t g x

f ' x = t g   x

Vamos então montar minha integral

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

L = ∫ 0 π 4 1 + t g 2 x   d x

L = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x   d x

L = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x   d x

A integral da secante já é macetada. A gente multiplica em cima e embaixo por sec ⁡ x + t g x

Ficamos então com

L = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x t g ( x ) sec ⁡ x + t g x   d x

Agora façamos a substituição simples

u = sec ⁡ x + t g x → d u = sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x t g x d x

Então teremos

L = ∫ 1 u d u

L = ln ⁡ u

L = ln ⁡ sec ⁡ x + t g x | π 4 0

L = ln ⁡ 1 cos ⁡ π 4 + t g π 4 - ln ⁡ 1 cos ⁡ 0 + t g 0

L = ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 1 + 0

L = ln ⁡ 2 + 1

Resposta

L = ln ⁡ 2 + 1

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