Demonstrar que o comprimento da curva y = cosh x que une os pontos (0, 1) e (a, cosh a) é sinh a se a > 0 .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ x i x f   1 + ( d y d x ) 2   d x

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular a derivada:

d y d x = s e n h ( x )

Então a integral fica

L   = ∫ 0 a   1 + ( s e n h ( x ) ) 2   d x

Temos que

1 + s e n h 2 ( x ) = c o s h 2 ( x )

Assim,

L   = ∫ 0 a   c o s h ( x )   d x

Vamos calcular essa integral simples e aplicar os limites de integração:

L = ∫ 0 a   c o s h ( x )   d x = s e n h ( x ) | 0 a = s e n h ( a ) .

Assim, demonstramos que o comprimento da curva é s e n h ( a ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = s e n h ( a ) .

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