Lista de Exercícios – Semana 17 – Cálculo I -
21) As coordenadas do centro de gravidade de um arco de curva (homogêneo) são dadas por
Em que é o comprimento do arco. Calcule as coordenadas do centro de gravidade dos arcos abaixo:
- Arco de circunferência de raio subtendo o ângulo
Passo 1
Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse é um probleminha de comprimento de arcos usando as integrais. No fundo ele quer que a gente resolva essas três integrais aqui:
Que doideira, né? Mas calma!! Aqui a gente lembra que em comprimento de arcos, aquele ali tem uma cara conhecida. Se conseguimos escrever como função de , ele tem essa cara aqui:
Onde é a derivada da função em relação a . E aí a nossa integração vai ser em
Mas... uma última dica é que se tivermos uma curva em que podemos escrever e como função de um parâmetro (geralmente problemas que envolvem círculos 😊) o é:
Então vamos lá montar o nosso problema!
Passo 2
Vamos começar calculando . Para isso, vale a pena a gente escrever essa curva em coordenadas polares:
Como é um semicírculo, temos . Com isso e usando para curvas parametrizadas:
temos que resolver então essa integral daqui:
Beleza!
Passo 3
Agora vamos calcular a coordenada ! Para isso, temos que resolver então essa integral daqui:
Arrumando um pouco a integral temos:
Que maravilhaaa! Agora temos uma integral bem mais simples para resolver, resolvendo ela, temos:
Passo 4
Agora vamos calcular a coordenada . Da mesma maneira que temos que resolver essa integral daqui:
Usando as coordenadas polares temos:
Que maravilhaaa! Agora temos uma integral bem mais simples para resolver, resolvendo essa integral temos:
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??