Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

f(r(x)) = (x^2 + 1) / (x + 3), x ∈ [0, 1]

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função

r x = x 2 + 1 x + 3

E pediu o comprimento de arco

Pergunta de milhões: Como achar esse valor?

A fórmula do comprimento de arco é a seguinte

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

Belê?

Então é isso que vamos fazer! A ideia é usar a fórmula do arco, mas com a função dada no problema! E aí é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O comprimento de arco é

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

f x = r x = x 2 + 1 x + 3

f ' = r ' = 2 x x + 3 - ( x 2 + 1 ) x + 3 2 = x 2 + 6 x - 1 x + 3 2

E elevando ao quadrado e somando uma unidade temos temos

f ' 2 + 1 = x 2 + 6 x - 1 x + 3 2 2 + 1

E nosso integrando fica assim

1 + f ' 2 = x 2 + 6 x - 1 x + 3 2 2 + 1

Tudo bem até aqui?

Agora vamos substituir na integral

c = ∫ 0 1 x 2 + 6 x - 1 x + 3 2 2 + 1 d x

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Mas como? Então, analisando as técnicas que conhecemos, não podemos aplicar nenhuma delas aqui! Isso significa que não é analiticamente que resolvemos ela!

Tudo bem até aqui?

Então é isso! O arco é dado pela expressão que achamos!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

∫ 0 1 x 2 + 6 x - 1 x + 3 2 2 + 1 d x

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