Calcule o comprimento de

y = 2 / 3 * x^(3/2)

em [0, 1] .

Passo 1

A fórmula do comprimento de arco é:

c = ∫ a b 1 + y ' x 2 d x

No nosso caso os limites de integração a e b são 0 e 1 , e:

y x = 2 3 x 3 2

→ y ' x = 2 3 ⋅ 3 2 x 1 2 = x

Então o comprimento do arco é:

c = ∫ 0 1 1 + x 2 d x = ∫ 0 1 1 + x d x

Passo 2

Fazendo uma substituição simples

u = 1 + x → d u = d x

Adaptando os limites de integração:

x = 0 → u = 0 + 1 = 1

x = 1 → u = 1 + 1 = 2

Vamos ter:

c = ∫ 0 1 1 + x d x = ∫ 1 2 u d u

= 2 3 u 3 2 1 2 = 2 3 2 3 2 - 1 = 2 3 2 2 - 1

Resposta

2 3 2 2 - 1

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