UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 2° Estágio- 2022.1, Questão 5
Encontre o ponto da curva espacial
situado a uma distância de unidades ao longo da curva a partir do ponto na direção do comprimento de arco crescente.
Passo 1
Eaew, tudo bem?
O enunciado nos dá a seguinte curva
e nos pede para calcularmos um ponto, escrito na forma em que a distância do ponto ao longo do arco formado pela curva seja dada por . Como fazer isso? O enunciado nos deu o comprimento de arco de um segmento dessa curva, portanto, faz sentido usarmos a definição de comprimento de arco como
precisamos identificar quais são os limites de nossa integração e calcular estas derivadas! Bora lá!
Passo 2
Primeiro, temos que é o valor de , em nosso ponto inicial, ou seja, temos que
Note que isso é verdade quando , para resolver iremos precisar encontrar um valor , para que , portanto, precisamos resolver
As derivadas são bastante diretas! Saca só!
Passo 3
Temos primeiro duas derivadas conhecidas como
e
precisamos também usar a regra do tombo
para calcular
Usando todas estas derivadas, podemos escrever que
Estamos quase lá! Vamos só reescrever um pouco o nosso radicando! Vem comigo!
Passo 4
Avaliando os quadrados, temos que
note que também podemos colocar em evidência, e usar que , de forma que temos
lembrando que , e resolvendo a seguinte integral
Podemos escrever
Portanto, temos que . Mas, que ponto obtemos quando , temos que
Essa é a nossa resposta final! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!