Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

e(p(x)) = cos(x), x ∈ [0, π/2]

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função

p x = cos ⁡ x

E pediu o comprimento de arco

Pergunta de milhões: Como achar esse valor?

A fórmula do comprimento de arco é a seguinte

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

Belê?

Então é isso que vamos fazer! A ideia é usar a fórmula do arco, mas com a função dada no problema! E aí é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O comprimento de arco é

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

f = p x = cos ⁡ x

f ' = p ' = - sin ⁡ x

E elevando ao quadrado e somando uma unidade temos temos

f ' 2 + 1 = 1 - sin 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x

E nosso integrando fica assim

1 + f ' 2 = cos 2 ⁡ x = cos ⁡ x

Tudo bem até aqui?

Agora vamos substituir na integral

c = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Precisamos resolver essa integral definida

c = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x = sin ⁡ x 0 π / 2

Tudo bem até aqui?

Aplicando os limites

c = sin ⁡ x 0 π / 2 = sin ⁡ π 2 - sin ⁡ 0 = 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1

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