Dê uma parametrização para a curva dada pela interseção das seguintes superfícies:

  1. z = 1 - x^2, z >= 0 e x = y

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização das interseções. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar a parametrização de uma curva gerada por uma interseção. Para fazermos isso, primeiro descobrimos a interseção das curvas, e depois parametrizamos. Vamos nessa!

Passo 2

Queremos as interseções de z   =   1   −   x 2 ,   z   ≥   0   e   x   =   y

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

Temos que

x   =   y

z   =   1   −   x 2

Logo, temos que os pontos que satisfazem são

( x , x , 1 - x 2 )

Mas, temos ainda que z   ≥   0 . Ou seja,

1 - x 2 ≥ 0

⇒ - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 3

Agora, como parametrizamos essa curva

( x , x , 1 - x 2 )

com - 1 ≤ x ≤ 1 ?

Ora, vamos fazer x = t . Então a curva parametrizada é dada por

( t , t , 1 - t 2 )   c o m   - 1 ≤ t ≤ 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( t , t , 1 - t 2 )   c o m   - 1 ≤ t ≤ 1

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