Seja:

g x = ∫ 5 2 x t 2 - 1 d t

Ache o comprimento da parte do gráfico de G compreendido entre os pontos 2 ,   g ( 2 ) e 6 ,   g ( 6 ) .

Passo 1

Os pontos 2 ,   g ( 2 ) e 6 ,   g ( 6 ) podem confundir quando escritos dessa forma. O que interessa mesmo são os valores de x . Ou seja, queremos o comprimento da curva para x ∈ 2,6 .

O comprimento de uma curva f ( x ) num intervalo 2,6 é: ∫ 2 6 1 + g ' x 2 d x

Então vamos começar calculando essa derivada.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que: ∫ 5 2 x t 2 - 1 4 d t = G 2 x - G 5

Tal que:

G ' t = t 2 - 1

Ou seja, tal que G ' t seja igual ao integrando. Dessa maneira, temos que: g ' x = d d x ∫ 5 2 x t 2 - 1 d t = d d x G 2 x - G 5 = G ' 2 x

Uma vez que G 5 é constante e desaparece ao derivar. Pela definição de G , teremos:

G ' 2 x = 2 x 2 - 1 = 4 x 2 - 1

Ou seja:

g ' x = 4 x 2 - 1

Passo 3

Agora, g ' x 2 será:

g ' x 2 = 4 x 2 - 1 2 = 4 x 2 - 1

Passo 4

Finalmente, substituímos: C = ∫ 2 6 1 + g ' x 2 d x = ∫ 2 6 4 x 2 d x = ∫ 2 6 2 x d x = x 2 2 6 = 36 - 4 = 32 u . c .  

Onde u.c. é unidade de comprimento.

Resposta

C = 32 u . c .

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