4) O comprimento do gráfico de para vale:
Passo 1
Bem o comprimento de uma curva aqui é sempre dado pela fórmula:
Onde e é o limite do intervalo em que varia e é a derivada da curva que estamos trabalhando.
Observando o Enunciado...
e ...
Mas e quanto a derivada?
Passo 2
Derivando não se esquecendo da regra da cadeia...
Jogando na fórmula...
Bora calcular essa integral?
Passo 3
Fazendo uma substituição trigonométrica do tipo...
E não se esquecendo de trocar os limites de integração também...
Obtemos...
Note como simplificou a vida! E ainda tirando da raiz, simplifica ainda mais :D