4) O comprimento do gráfico de y = 100 - x 2 para x ∈ 0 ,   10 vale:

  1. 5 π
  2. 10 π
  3. 20 π
  4. 6 π

Passo 1

Bem o comprimento de uma curva aqui é sempre dado pela fórmula:

C = ∫ a b 1 + d y d x 2   d x

Onde a e b é o limite do intervalo em que x varia e d y d x é a derivada da curva que estamos trabalhando.

Observando o Enunciado...

a = 0 e b = 10 ...

C = ∫ 0 10 1 + d y d x 2   d x

Mas e quanto a derivada?

Passo 2

y = 100 - x 2

Derivando não se esquecendo da regra da cadeia...

d y d x = 1 2 100 - x 2 ⋅ 100 - x 2 ' =

- 2 x 2 100 - x 2 = - x 100 - x 2

Jogando na fórmula...

C = ∫ 0 10 1 + d y d x 2   d x =

∫ 0 10 1 + - x 100 - x 2 2   d x =

∫ 0 10 1 + x 2 100 - x 2   d x = ∫ 0 10 100 - x 2 100 - x 2 + x 2 100 - x 2   d x =

10 ∫ 0 10 1 100 - x 2   d x

Bora calcular essa integral?

Passo 3

10 ∫ 0 10 1 100 - x 2   d x

Fazendo uma substituição trigonométrica do tipo...

x = 10 sin ⁡ t     →             d x = 10 cos ⁡ t d t

E não se esquecendo de trocar os limites de integração também...

x = 0             →               sin ⁡ t = 0                 →                   t = 0

x = 10             →               sin ⁡ t = 1                 →                   t = π 2

Obtemos...

1 0 ∫ 0 10 1 100 - x 2   d x = 10 ∫ 0 π 2 1 100 - 100 sin 2 ⁡ t   10 cos ⁡ t d t =

10 ∫ 0 π 2 1 100 cos 2 ⁡ t   10 cos ⁡ t d t =

Note como simplificou a vida! E ainda tirando da raiz, simplifica ainda mais :D

∫ 0 π 2 10 cos ⁡ t cos ⁡ t d t = ∫ 0 π 2 10 d t =

10 t 0 π 2 = 5 π

Resposta

  1. 5 π

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