Regras de Derivação II, Comprimento de Arco
Seja
Determine a derivada da função .
Seja a inversa de . Determine .
Ache o comprimento da parte do gráfico de compreendido entre os pontos e .
Passo 1
Ok, temos que derivar esse aí, só que ele é dadopor uma integral, correto? Temos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo, nesse caso. Aí, por definição, essa vai ser a derivada:
Essa é a derivada!
Passo 2
A derivada da inversa de uma função , essa , vai ser dada pela definição da seguinte maneira:
Nós já temos uma forma explícita para , o que significa que basta substituir qualquer valor de para sabermos o resultado de . A questão agora, já que queremos , é saber qual é o .
Bom, sendo a inversa de , a gente sabe que é como se estivéssemos procurando o que gera . Ora, como era dado por aquela integral lá do enunciado, e sabemos que para uma integral definida ser nula seus limites de integração devem ser iguais, o que gera é:
Portanto, o sai dessa forma:
Passo 3
O comprimento de uma função contínua qualquer de até é dado pela seguinte fórmula:
Nesse caso, como , e , temos:
Entre e o . Assim: