Sabendo que o comprimento de onda de uma curva lisa r t → = x t i ^ + + y t j ^ + z ( t ) k ^ , a ≤ t ≤ b é dada pela fórmula:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t = ∫ a b v ( t ) →   d t

Encontre o comprimento da curva r t = 3 t 3 i ^ - 2 t 3 j ^ - ( 6 t 3 ) k ^ , 1 ≤ t ≤ 2 .

Passo 1

O melhor a fazer aqui é não pensar muito, vamos direto aplicar a fórmula que o enunciado deu. Primeiro, precisamos calcular aquelas derivadas que aparecem na integral:

d x d t = d d t 3 t 3 = 9 t 2

d y d t = d d t - 2 t 3 = - 6 t 2

d z d t = d d t - 6 t 3 = - 18 t 2

Passo 2

Beleza, substituindo isso na fórmula, vamos ter a seguinte integral para resolver:

L = ∫ 1 2 9 t 2 2 + - 6 t 2 2 + - 18 t 2 2 d t

L = ∫ 1 2 9 t 2 2 + - 6 t 2 2 + - 18 t 2 2 d t

L = ∫ 1 2 81 t 4 + 36 t 4 + 324 t 4   d t

L = ∫ 1 2 441 t 4   d t

L = ∫ 1 2 21 t 2   d t = 21 ∫ 1 2 t 2   d t

Passo 3

Agora é só revoler essa integral simples:

L = 21 ∫ 1 2 t 2   d t

L = 21 2 3 3 - 1 3 3

L = 21 8 3 - 1 3 = 21.7 3 = 49   u . c .

Pronto!

Resposta

O comprimento da curva é de 49   u . c .

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