UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2008.2, Questão 3a
Consideremos a curva para .
a) Determinar o comprimento desta curva.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento da curva no intervalo de a . Pra calcular o comprimento de uma curva nós usamos a fórmula do comprimento de arco, que é dada por:
Onde é o intervalo considerado e é a derivada da função em relação a .
Então, o que nós vamos fazer é calcular essa derivada e substituir na integral, junto com o intervalo , para obter o valor do comprimento .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a integral de . Usando a regra do produto juntamente com a regra da Cadeia, temos:
Como os termos tem denominadores iguais, podemos somar as frações:
Colocando em evidência:
Multiplicando a fração por , temos:
Assim:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora vamos substituir esse resultado na equação do comprimento de arco:
Elevando ao quadrado:
E caímos numa integral simples, onde basta usar a regrinha da potência ():
Aplicando os limites de integração:
E temos o comprimento da nossa curva:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉