Calcule o comprimento de arco da curva y = l n ⁡ ( sec ⁡ θ ) entre os pontos θ = 0 e θ = π / 3 .

Passo 1

O enunciado nos pediu para calcularmos o comprimento de arco de uma curva. Logo, temos que usar a famosa fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Repare que nesse caso, x = θ (variável que estamos integrando) e f θ = y = ln ⁡ ( sec ⁡ θ ) . Os limites de integração a e b foram dados: a = 0 e b = π / 3 .

Passo 2

Vamos usar a fórmula:

L = ∫ 0 π / 3 1 + f ' θ 2 d θ

Em primeiro lugar, vamos calcular f ' ( θ ) :

f θ = ln ⁡ ( sec ⁡ θ )

f ' θ = 1 sec ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ ' = 1 sec ⁡ θ ⋅ tg ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ = tg ⁡ θ

Aplicando na fórmula:

L = ∫ 0 π / 3 1 + tg 2 ⁡ θ d θ

É útil lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Como de 0 ≤ θ ≤ π 3 , sec ⁡ θ > 0 , então:

L = ∫ 0 π / 3 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Calculando a integral definida:

L = ln ⁡ | tg ⁡ θ + sec ⁡ θ | 0 π 3 =

= ln ⁡ tg ⁡ π 3 + sec ⁡ π 3 - ln ⁡ tg ⁡ 0 + sec ⁡ 0 =

= ln ⁡ ( 3 + 2 ) - ln ⁡ ( 0 + 1 ) =

= ln ⁡ ( 3 + 2 ) - ln ⁡ 1 =

= ln ⁡ ( 3 + 2 ) + 0

Obs: Como calcular a integral da secante? É meio “voodoo” mesmo. É bom ter isso decorado.

∫ sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ ⋅ s e c θ + tg ⁡ θ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ d θ = ∫ ( sec 2 ⁡ θ + tg ⁡ θ sec ⁡ θ ) sec ⁡ θ + tg ⁡ θ d θ  

Fazendo u = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ → d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ

Logo:

∫ d u u = ln ⁡ | u | = ln ⁡ | sec ⁡ θ + tg ⁡ θ | + C

Resposta

O comprimento de arco é

ln ⁡ ( 3 + 2 )

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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1