Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.

(a) r(t) = (a(1 - costume), a(t - sent)), 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0.

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva   r ( t ) = ( x ( t ) ,   y ( t ) )   é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral para

r ( t ) = ( a ( 1 − c o s t ) ,   a ( t − s e n t ) ) ,   0 ≤   t   ≤   2 π ,   a >   0 .

Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas:

d x d t = d d t ( a ( 1 − c o s   t ) ) = a ( s e n   t )

d y d t = d d t ( a ( t − s e n   t ) ) = a ( 1 − c o s   t )

Então a integral fica

L   = ∫ 0 2 π ( a ( s e n   t ) ) 2 + ( a ( 1 − c o s   t ) ) 2 d t = a ∫ 0 2 π s e n 2   t + 1 − 2   c o s   t + c o s 2 t d t

Passo 3

Temos que

c o s 2 ( t ) + s e n 2 ( t ) = 1

Assim,

L   = a ∫ 0 2 π 2 ( 1 − c o s   t ) d t

Temos também que

2 s e n 2 ( t 2 ) = 1 - c o s   t

Então,

L   = a ∫ 0 2 π 4   s e n 2 ( t 2 ) d t = L   = 2 a ∫ 0 2 π s e n   ( t 2 ) d t

Resolvendo essa integral e aplicando os limites:

L   = 2 a ( - 2 c o s   ( t 2 ) ) | 0 2 π = 4 a ( 1 + 1 ) = 8 a

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 8 a .

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