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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 1d

Calcule o comprimento das curvas

  1.   r ( t ) = a (   s e n h   t   −   t )   i →     + a ( 1   −   c o s h   t )   j →   c o m   0   ≤   t   ≤   2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com comprimento de curvas parametrizadas. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar o tamanho da curva

r ( t ) = a (   s e n h   t   −   t )   i →     + a ( 1   −   c o s h   t )   j →   c o m   0   ≤   t   ≤   2

Agora, como encontramos o comprimento de uma curva? Existe uma fórmula para isso. Lembram dela? O comprimento de uma curva r ( t ) com   a   ≤   t   ≤   b , é dada por:

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

Lembraram? Show!!!

Passo 2

Queremos calcular

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

vamos começar obtendo r ' ( t )

vamos escrever a nossa r ( t ) como um vetor

r ( t ) = a (   s e n h   t   −   t )   i →     + a ( 1   −   c o s h   t )   j →   c o m   0   ≤   t   ≤   2

= ( a (   s e n h   t   −   t ) , a ( 1   −   c o s h   t )   )

Calculando a derivada entrada a entrada

r ' ( t ) = ( a ( c o s h   t   -   1 )   , - a * s i n h   t )

E com isso, temos que

| r ' ( t ) | = ( ( a ( c o s h   t   -   1 ) ) 2   + ( a 2 * s i n h 2   t ) ) 1 / 2

= ( a 2 c o s h 2 t - 2 a 2 c o s h   t + a 2 + a 2 s i n h 2 t ) 1 / 2

= ( a 2 ( c o s h 2 t + s i n h 2 t )   - 2 a 2 c o s h   t   + a 2 ) ) 1 / 2

usando o resultado que

c o s h 2 t + s i n h 2 t = 2 c o s h 2 - 1

temos que

( a 2 ( c o s h 2 t + s i n h 2 t )   - 2 a 2 c o s h   t   + a 2 ) ) 1 / 2 = ( a 2 ( 2 c o s h 2 - 1 ) - 2 a 2 c o s h   t   + a 2 ) 1 / 2

= 2 a ( c o s h 2 t - c o s h   t ) 1 / 2

Passo 3

Descobrimos que

| r ' ( t ) | = 2 a ( c o s h 2 t - c o s h   t ) 1 / 2

Dessa forma, o comprimento da nossa curva é:

∫ a b | r ' ( t ) | d t = ∫ 0 2 π 2 a ( c o s h 2 t - c o s h   t ) 1 / 2   d t

pois   0   ≤   t   ≤   2 π

Então:

∫ 0 2 π 2 a ( c o s h 2 t - c o s h   t ) 1 / 2   d t

Resolvendo a integral, obtemos:

= 1 / 2   ( t   +   ( - 2   +   c o s h ( t ) )   s i n h ( t ) ) | t = 2 π t = 0

calculando os limites de integração:

= π   -   s i n h ( 2   π )   +   1 / 4   s i n h ( 4   π )

Ou seja, o comprimento da nossa curva é π   -   s i n h ( 2   π )   +   1 / 4   s i n h ( 4   π )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

π   -   s i n h ( 2   π )   +   1 / 4   s i n h ( 4   π )

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