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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Listas de Integrais – Questão 6.5a

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

a ) m x = x 2 + x ,   x ∈ 0 , 1 10

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função

m x = x 2 + x

E pediu o comprimento de arco

Pergunta de milhões: Como achar esse valor?

A fórmula do comprimento de arco é a seguinte

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

Belê?

Então é isso que vamos fazer! A ideia é usar a fórmula do arco, mas com a função dada no problema! E aí é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O comprimento de arco é

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

Aí

f = m = x 2 + x

f ' = m ' = 2 x + 1

Agora vamos substituir na integral

c = ∫ 0 1 / 10 1 + 2 x + 1 2 d x

Vamos resolver a indefinida e por fim aplicar os limites!

Beleza?

Antes de mais nada: vamos fazer uma mudança de variáveis

u = 2 x + 1 → d u 2 = d x

Assim nossa integral indefinida fica assim

∫ 1 + u 2 2 d u

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Fazendo por substituição trigonométrica

u = tan ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Temos

∫ 1 + u 2 2 d u = 1 2 ∫ 1 + tan 2 ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Tudo bem até aqui?

Sabemos que ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ , aí nossa integral fica

= 1 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Agora precisamos retornar para x

u = 2 x + 1 = tan ⁡ θ

Assim c a t . o p o s t o = 2 x + 1 ,   c a t . a d j = 1 . E a hipotenusa

h i p = 2 x + 1 2 + 1

aí

sec ⁡ θ = 2 x + 1 2 + 1

Assim nossa integral fica

1 4 2 x + 1 2 + 1 . 2 x + 1 + ln ⁡ 2 x + 1 2 + 1 + 2 x + 1 0 1 10

1 4 2 x + 1 2 + 1 . 2 x + 1 + ln ⁡ 2 x + 1 2 + 2 x + 2 0 1 10

E por fim vamos aplicar nos limites

1 4 2 . 1 10 + 1 2 + 1 . 2 . 1 10 + 1 + ln ⁡ 2.1 10 + 1 2 + 2 . 1 10 + 2 - 1 4 1 2 + 1 . 1 + 1 4 ln ⁡ 1 2 + 2

Simplificando temos

= 1 4 6 5 2 . 6 5 + 1 4 ln ⁡ 6 5 2 + 11 5 - 2 4 - 1 4 ln ⁡ 3

E por fim

216 500 + 1 4 ln ⁡ 91 25 - 1 2 - 1 4 ln ⁡ 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

216 500 + 1 4 ln ⁡ 91 25 - 1 2 - 1 4 ln ⁡ 3

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