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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Rafael Rossato - Integrais com coordenadas polares, Questão 6d

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares.

d) ρ = sec ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ = sec ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π 3

Para isso, devemos saber que a fórmula para o comprimento de uma curva C em coordenadas polares é:

C = ∫ a b ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Dessa forma, com base nos dados do enunciado, temos:

ρ 2 = sec ⁡ θ 2 ∴

ρ 2 = sec 2 ⁡ θ

E

d ρ d θ = 2 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ

Logo, substituindo na integral e aplicando o intervalo 0 ≤ θ ≤ π 3 que foi dado, temos:

∫ 0 π / 3 sec 2 ⁡ θ + 4 sec 4 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

Vamos relembrar da seguinte identidade trigonométrica:

tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Assim, na integral, temos:

∫ 0 π / 3 sec 2 ⁡ θ + 4 sec 4 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ ∴

∫ 0 π / 3 sec 2 ⁡ θ + 4 sec 6 ⁡ θ - 4 sec 4 ⁡ θ d θ ∴

∫ 0 π / 3 2 sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ 2 d θ ∴

∫ 0 π / 3 2 sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ ∴

∫ 0 π / 3 2 sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ 0 π / 3 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Para a primeira integral, sabemos que:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x tan ⁡ x

E para a segunda integral, temos:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Dessa forma, substituindo na nossa expressão, temos:

∫ 0 π / 3 2 sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ 0 π 3 sec ⁡ θ d θ = sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x π 3 0 ∴  

= 2 3 + 2 ln ⁡ 2 + 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 2 3 + 2 ln ⁡ 2 + 3

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