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Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 2° Estágio - 2022.1, Questão 3c

Calcule a derivada de

y   =   l o g 2 ( e - x + x e - x )

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é calcular a derivada de y   =   l o g 2 ( e - x + x e - x )

Vamos calcular a nossa derivada!

Vamos começar relembrando da seguinte propriedade de mudança de base do l o g . Temos que

l o g b a   =   l n ( a ) l n ( b )

Dessa forma, podemos reescrever a nossa função como:

y   =   l o g 2 ( e - x + x e - x )

= l n ( e - x + x e - x ) l n ( 2 )

Que pode ser simplificado ainda mais

= l n ( e - x ( 1 + x ) ) l n ( 2 )

Usando a propriedade do produto para l o g

= l n ( e - x ) + l n ( 1 + x ) l n ( 2 )

= - x + l n ( 1 + x ) l n ( 2 )

Ou seja, chegamos a conclusão que

y   =   l o g 2 ( e - x + x e - x )

= - x + l n ( 1 + x ) l n ( 2 )

Passo 2

Agora vamos derivar

y = - x + l n ( 1 + x ) l n ( 2 )

⇒ y ' = d d x - x + l n ( 1 + x ) l n ( 2 )

Usando a linearidade da derivada

= - 1 + 1 / ( 1 + x ) l n ( 2 )

= - x l n ( 2 ) ( 1 + x )

Então a nossa derivada é

y ' = - x l n ( 2 ) ( 1 + x )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

- x l n ( 2 ) ( 1 + x )

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