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Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

  1. Deriva

g. f x = ln ⁡ x + x 2 + 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos uma derivada para resolver de uma função logarítmica.

Para quem lembra, a derivada da função logarítmica, teremos:

y = log b ⁡ x

y ' = 1 ln ⁡ b 1 x

Então quando b = e , temos que

y = ln ⁡ x

y ' = 1 ln ⁡ e 1 x = 1 x

Mas para resolver essa derivada, vamos ter que usar também a regra da cadeia.

Bora lá!

Passo 2

Galerinha, a nossa função é

f x = ln ⁡ x + x 2 + 1

Pela a regra da cadeia ficamos com,

f ' x = x + x 2 + 1 ' ln ' ⁡ x + x 2 + 1

Agora vamos resolver cada parte em separado!

Passo 3

Para achar x + x 2 + 1 ' , vamos aplicar a regra da cadeia também,

x + x 2 + 1 ' = 1 + x 2 + 1 ' x 2 + 1 '

x + x 2 + 1 ' = 1 + 2 x 1 2 x 2 + 1 = 1 + x x 2 + 1

Passo 4

Para achar a derivada de ln ⁡ vamos aplicar a derivada que vimos no Passo 1

ln ' ⁡ x + x 2 + 1 = 1 x + x 2 + 1

Passo 5

Juntando tudo,

f ' x = x + x 2 + 1 ' ln ' ⁡ x + x 2 + 1

f ' x = 1 + x x 2 + 1 1 x + x 2 + 1

Ajeitando,

f ' x = x 2 + 1 + x x 2 + 1 1 x + x 2 + 1

Simplificando,

f ' x = 1 x 2 + 1

Prontinho!

Resposta

f ' x = 1 x 2 + 1

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