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Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

  1. Deriva

c. g x = 2 x + 1 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos uma derivada para resolver que é uma função exponencial.

Para quem lembra, a derivada de função exponencial é dada por:

y = a x

y ' = a x ln ⁡ a

Repara também que temos a variável x no expoente e na base. Sendo assim, vamos ter que fazer uma derivação implícita. Mas para isso, vamos ter que aplicar essa propriedade antes,

a b = e b ln ⁡ a

Agora vamos resolver!

Passo 2

Aplicando a propriedade exponencial, ficamos com

g x = 2 x + 1 x = e x ln ⁡ 2 x + 1

Aplicando, ln ⁡ dos dois lados, ficamos com,

ln ⁡ g x = ln ⁡ e x ln ⁡ 2 x + 1

ln ⁡ g x = x ln ⁡ 2 x + 1

Agora sim, podemos derivar implicitamente!

Passo 3

Derivando dos dois lados, ficamos com

1 g x g ' x = ln ⁡ 2 x + 1 + x 1 2 x + 1

Ajeitando,

g ' x = g x ln ⁡ 2 x + 1 + x 2 x + 1

Repara que a nossa resposta está com um g x ali e temos que sumir com ele. Mas, galerinha, fica tranquilo porque o g x é a nossa própria função,

g x = 2 x + 1 x

Substituindo,

g ' x = 2 x + 1 x ln ⁡ 2 x + 1 + x 2 x + 1

Prontinho!

Resposta

g ' x = 2 x + 1 x ln ⁡ 2 x + 1 + x 2 x + 1

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