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Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

  1. Deriva

f. f x = ln ⁡ e x + 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos uma derivada para resolver de uma função exponencial dentro uma logarítmica.

Para quem lembra, a derivada de função exponencial é dada por:

y = a x

y ' = a x ln ⁡ a

Então quando a = e , temos que

y = e x

y ' = e x ln ⁡ e = e x

E no caso da função logarítmica, teremos:

y = log b ⁡ x

y ' = 1 ln ⁡ b 1 x

Então quando b = e , temos que

y = ln ⁡ x

y ' = 1 ln ⁡ e 1 x = 1 x

Mas para resolver essa derivada, vamos ter que usar também a regra da cadeia.

Bora lá!

Passo 2

Galerinha, a nossa função é

f x = ln ⁡ e x + 1

Pela a regra da cadeia ficamos com,

f ' x = e x + 1 ' ln ' ⁡ e x + 1

Aplicando as derivas que vimos no Passo 1,

f ' x = e x 1 e x + 1 = e x e x + 1

Prontinho!

Resposta

f ' x = e x e x + 1

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