Listas Cálculo 1 – UAMat – UFCG – Lista 2 – Derivadas - 18j
18 - Use a derivação logarítmica para determinar :
Passo 1
Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nós costumamos usar essa técnica quando queremos calcular a derivada de uma função que está elevada por outra função, algo como:
Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:
E então, aplicando a propriedade do “peteleco” do logaritmo, teremos:
Perceba que agora temos uma função implícita de , e então aplicamos a derivação implícita, sem esquecer que no termo da direita da equação temos uma regra do produto por conta da multiplicação de com e também haverá uma regra da cadeia por conta da derivada de , o que ficará:
O nada mais é do que o que queremos encontrar.
Passo 2
Temos nesse caso que:
Aplicando dos dois lados:
O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!
Passo 3
Perceba que nesse caso, como é uma constante, a derivada do lado direito será simplesmente a constante multiplicando a derivada da função
Seguindo...
Só lembrando, esse é a mesma coisa que que a questão está pedindo.
Agora para finalizar é só substituir no nosso resultado.
Passo 4
Passo 5
Perceba que como temos o termo tanto no denominador quanto no numerador da fração, podemos cortar um deles, com isso no denominador teremos e no numerador teremos
Dica: Essa derivada foi resolvida pela técnica da derivação logarítmica, pois foi pedido no enunciado, mas uma forma mais fácil e rápida teria sido aplicar a regra da cadeia na função original, teríamos chegado ao mesmo resultado.