Questão discursiva – UFCG – Calculo diferencial e integral I – Lista 9 – teste – Lista UAMat – Lista 2 – derivadas – questão 14 item p
Derive:
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Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?
A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?
Imagine que temos:
Imagine que temos uma função qualquer e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em mas não em ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:
Onde é um passo instantemente depois.
Da reta tangente, sabemos que:
Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:
Que é:
Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para , ou seja, tendendo a . Assim:
E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.
Então vamos lá?!
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Temos então:
Temos dado que , assim . De forma que temos:
Sabendo que a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer:
E agora sim podemos fazer ambos os limites separadamente e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!
Passo 3
Para o primeiro:
Podemos deixar isso visivelmente mais bonito? O que acha de fazermos ? E veja que se . Assim:
Veja que se fizermos teremos uma indeterminação:
Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:
E aqui temos uma parte importante das derivadas, que é derivada pela regra da cadeia. O que é isso? Quando numa derivada temos duas funções que dependem da variável de derivação, veja que nesse caso temos e . Dependendo ambas de , é aplicada a regra de derivação pela cadeia. Mas como é isso?
Seja e , então:
Ou seja, derivamos uma a multiplicamos pela outra, e somamos com a derivada da outra com essa. Usando o nosso caso:
E agora temos problema. Como que faço essas derivadas? A primeira é chamada regra do tombo, que é dada por:
Ou seja, tombamos o expoente, e agora o nosso expoente é ele mesmo menos , isso tudo se multiplicando por , que é a derivada da base do expoente. No nosso caso:
Ou seja, a derivada de com relação à é 1
E a outra, que é é a regra da derivada do exponencial de Euler, muito conhecida, que é:
Veja que ela se repete, né?! Legal isso. Por que será? Bom, está livre para saber mais sobre. No nosso caso:
Mas já sabemos que . Assim:
Tendo essa parte do problema resolvido:
E portanto:
Temos um problema que é derivar , o que fazemos quando a função não depende da variável de integração? Provamos no passo 1 que a derivada é uma variação, e se a função é constante, concorda comigo que não varia? Logo se a função é a constante, a derivada dela é nula:
Agora sim se fizermos :
Fatorando :
Então vemos que:
E achamos o valor do nosso primeiro limite. Vamos lá achar o segundo?
Veja que novamente se fizermos teremos uma indeterminação
E quando temos uma indeterminação significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital. Então derivando:
Lembra daquele lance de derivar uma função constante, aqui vemos que . Assim:
E logo:
E achamos então o valor da nossa segunda derivada.
Agora que achamos tudo, vamos ver como ficou nossa derivada?
MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?
Passo 4
Então tínhamos:
E achamos que:
Portanto:
Que é a derivada de
E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!