UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 14 - Alternativa t)
Derive:
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função
Para isso iremos utilizar a regra do produto, a regra da cadeia e algumas propriedades básicas da derivada, assim como derivadas conhecidas! Vamos relembrá-las uma a uma quando necessário! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro, queremos calcular essa derivada, portanto, temos que
Devemos aplicar a regra do produto quando temos uma derivada de um produto de funções, a regra do produto é tal que
Note que em nosso caso podemos identificar que e . Aplicando a regra do produto, temos então que
Desta forma o problema se reduziu ao cálculo das derivadas mais simples acima! Aqui vamos precisar utilizar a regra da cadeia na segunda derivada! Você se lembra como fazemos isso? Saca só!
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função composta do tipo , temos que a derivada será obtida pela regra da cadeia, ou seja
se identificarmos que , em que , temos que a derivada será dada por
Consegue lembrar qual serão os resultados individuais? Bora resolver isso!
Passo 4
De cara, temos que a seguinte derivada é conhecida
Essa é a primeira, para a segunda podemos lembrar a seguinte propriedade da derivada que também é proveniente da regra da cadeia
Ou seja, quando temos uma constante multiplicando a variável que estamos derivando, nós usamos as regras de derivação normais, mas temos que multiplicar o resultado pela constante! Utilizando então essa propriedade, e que
Como a derivada de qualquer constante é zero, e pela regra do tombo temos que
Podemos escrever que
Juntando os resultados acima, temos então que nossa derivada é
em que usei que . Essa era a derivada mais complicada! Consegue resolver a derivada que falta? Vem cá!
Passo 5
Queremos calcular
A segunda derivada já calculamos no passo anterior, agora, só precisamos calcular
Mas, essa derivada é dada pela regra do tombo, já até mesmo fizemos ela anteriormente na questão! O resultado é
De forma que juntando todos nossos resultados, temos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!