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Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 7

Encontre y ' onde:

  1. y = ln ⁡ x 2 + y 2
  2. x y = y x

Passo 1

Opa, e aí galerinha!! Tudo na paz? Então sem mais delongas o que acontece nessa questão aqui é o seguinte: se você perceber você vê que claramente temos um polinômio para derivar, mas esse cara está elevado a uma potência, certo?

Esse é um típico problema onde temos uma função dentro de outra. E o que fazer quando isso parar aí na nossa frente? REGRA DA CADEIA!!!

Passo 2

  1. Usando a regra da cadeia, ficamos

    2. y ' = 1 x 2 + y 2 d d x x 2 + y 2

    Vamos agora derivar o carinha ali dentro da derivada ainda, ou seja, temos que:

    d d x x 2 + y 2 = 2 x + 2 y y '

    Note que eu escrevi ali como sendo y ' e não direto 2 y a derivada, porque estamos derivando utilizando a regra da cadeia.

    Passo 3

    Agora, podemos substituir o que encontramos e isolar y '

    y ' = 2 x + 2 y y ' x 2 + y 2

    x 2 + y 2 y ' = 2 x + 2 y y '

    x 2 y ' + x 2 y ' = 2 x + 2 y y '

    x 2 y ' + y 2 y ' - 2 y y ' = 2 x

    y ' x 2 + y 2 - 2 y = 2 x

    y ' = 2 x x 2 + y 2 - 2 y  

    Passo 4

  2. Semelhante ao item anterior, vamos derivar usando a regra da cadeia e depois isolar y '

Antes para ficar melhor de trabalharmos com essa equação, vamos aplicar o l n pra ficar mais fácil da gente trabalhar, beleza?

ln ⁡ y x = ln ⁡ x y

x ln ⁡ y = y   l n ⁡ ( x )

Agora vamos derivarrrrr!!!

d d x x ln ⁡ y = d d x y ln ⁡ x  

x 1 y   y ' + ln ⁡ y = y ' ln ⁡ x + y 1 x

ln ⁡ y - y x = y ' ln ⁡ x - y ' x y

y ' = ln ⁡ y - y x ln ⁡ x - x y

Agora, a fim de eliminar a fração vamos fazer o seguinte:

y ' = ln ⁡ y - y x ln ⁡ x - x y × x y x y

y ' = x y ln ⁡ y - y 2 x y ln ⁡ x - x 2

Resposta

a     y ' = 2 x x 2 + y 2 - 2 y

b   y ' = 2 x x 2 + y 2 - 2 y

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