USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.12
7.12. Seja . Quantas soluções distintas tem a equação ? Mostre que a equação tem exatamente três soluções reais distintas.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos obter o número de soluções distintas para a equação sabendo que .
Além disso, temos que mostrar que tem exatamente três soluções reais e distintas.
E aí, tem ideia do que fazer? 🤔
Primeiramente, para obter a derivada de segunda ordem de aplicamos apenas o método de derivação polinomial. A partir daí, temos que usar algum método de análise ou de fatoração da equação e obter suas raízes.
Bora começar! 😁
Passo 2
Obtendo a primeira derivada de , temos
Derivando o resultado para obter a derivada de segunda ordem...
Agora fazendo
Nesse caso, ao invés de aplicar alguns métodos complexos demorados e complicados, vamos definir uma nova função , ou seja
Lembra que a derivada de uma função nos resulta no coeficiente angular dessa função no seu domínio?
Ou seja, se derivarmos podemos analisar o comportamento de e saber como ela varia, veja só
Perceba que a derivada de é sempre positiva... isso significa que está sempre crescendo.
Dessa forma só é possível que , ou seja, corte o eixo apenas uma vez, logo, tem apenas uma solução para
Interessante, não é? 😉
Passo 3
Fazendo essa mesma análise para , temos
Como obtemos anteriormente
Se , e como , para , então podemos perceber que em a função é estritamente crescente.
Dessa forma, como e , temos apenas uma raiz para .
Certo, encontramos uma raiz, faltam duas!
Se fizermos , vamos obter
Ou seja, como e , entre tem pelo menos mais uma raiz pois saiu de um número positivo em para um número negativo em
Novamente vamos ver qual é a imagem da função em dessa vez
Agora descobrimos que é positivo! Portanto entre e temos mais uma raiz, totalizando as três que tínhamos que provar que existiam!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Uma raiz!