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Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 6.1o

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

o) f x = ln ⁡ x 3 + 2 x 3 x 2 + e cos ⁡ x  

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = ln ⁡ x 3 + 2 x 3 x 2 + e cos ⁡ x   .

Como vamos fazer isso? 🤔

A primeira coisa que vemos de interessante nessa função, é que se trata de uma fração de funções. Portanto, para obter a derivada dessa função, podemos aplicar a regra do quociente, ou seja

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = ln ⁡ x 3 + 2 x 3 x 2 + e cos ⁡ x e pela analogia com o exemplo genérico do passo 1, temos que g x = ln ⁡ x 3 + 2 x 3 e h x = x 2 + e cos ⁡ x , logo

f ' x = d ln ⁡ x 3 + 2 x 3 d x · x 2 + e cos ⁡ x - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 · d x 2 + e cos ⁡ x d x x 2 + e cos ⁡ x 2

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

f ' x = d ln ⁡ x 3 + 2 x 3 d x · x 2 + e cos ⁡ x - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 · d x 2 d x + d e cos ⁡ x d x x 2 + e cos ⁡ x 2

Perceba que os termos ln ⁡ x 3 + 2 x 3 e e cos ⁡ x são funções compostas, nesses casos, suas derivadas são obtidas a partir da regra da cadeia, ou seja, o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa...

f ' x = d x 3 + 2 x 3 d x · d ln ⁡ u d v · x 2 + e cos ⁡ x - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 · d x 2 d x + d cos ⁡ x d x · d e v d v x 2 + e cos ⁡ x 2

f ' x = d x 3 d x + d 2 x 3 d x · d ln ⁡ u d v · x 2 + e cos ⁡ x - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 · d x 2 d x + d cos ⁡ x d x · d e v d v x 2 + e cos ⁡ x 2

Aplicando a regra do expoente no termo 2 x 3 temos que 2 x 3 = e x 3 ln ⁡ 2

E, portanto, na derivada de e x 3 ln ⁡ 2 , temos que aplicar a regra da cadeia também!

f ' x = d x 3 d x + d x 3 ln ⁡ 2 d x · d e p d p · d ln ⁡ u d v · x 2 + e cos ⁡ x - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 · d x 2 d x + d cos ⁡ x d x · d e v d v x 2 + e cos ⁡ x 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

E finalmente, aplicando o método de derivação polinomial e o teorema fundamental do cálculo, temos que

d x 3 d x = 3 x

d x 3 ln ⁡ 2 d x = 3 x l n 2

d e p d p = e p

d ln ⁡ u d v = 1 u

d x 2 d x = 2 x

d cos ⁡ x d x = - s e n x

d e v d v = e v

Substituindo em f ' x

f ' x = 3 x + 3 x l n 2 · e p · 1 u · x 2 + e cos ⁡ x - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 · 2 x + - s e n x · e v x 2 + e cos ⁡ x 2

Substituindo u = x 3 + 2 x 3 , p = x 3 ln ⁡ 2 e v = cos ⁡ x ...

f ' x = 3 x + 3 x l n 2 · e x 3 ln ⁡ 2 · 1 x 3 + 2 x 3 · x 2 + e cos ⁡ x - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 · 2 x + - s e n x · e cos ⁡ x x 2 + e cos ⁡ x 2

f ' x = 3 x + 3 x l n 2 2 x 3 x 2 + e cos ⁡ x x 3 + 2 x 3 - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 2 x - s e n x e cos ⁡ x x 2 + e cos ⁡ x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 3 x + 3 x l n 2 2 x 3 x 2 + e cos ⁡ x x 3 + 2 x 3 - ln ⁡ x 3 + 2 x 3 2 x - s e n x e cos ⁡ x x 2 + e cos ⁡ x 2

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