Listas Cálculo 1 – UAMat – UFCG – Lista 2 – Derivadas – 19c
19 - Use a derivação logarítmica para calcular:
Passo 1
Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.
Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:
E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:
E no lado esquerdo da expressão temos que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:
O nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...
Passo 2
Temos nesse caso que:
Aplicando dos dois lados:
Perceba que podemos abrir essa raíz na divisão de duas raízes:
E que raíz de é o próprio . Aplicando a propriedade de que o logaritmo da divisão é a subtração de logaritmos, teremos:
Agora, ainda lembrando das propriedades de logaritmos, temos duas que são importantes aqui. , ou seja, o logaritmo de é igual a . E perceba que podemos abrir aquela raíz na multiplicação de duas raízes, e então o log da multiplicação é a soma dos log’s.
O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!
Passo 3
Precisamos agora encontrar as derivadas de e ...
Para isso, vamos lembrar que e aplicando a regra do peteleco teremos:
E por fim lembrar que
Sendo assim temos:
E analogamente, temos:
Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia. Nesse exemplo, isso não fará diferença, pois , mas é preciso ficar atento nisso!
Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!
Passo 4
A gente tinha que
E substituindo as derivadas teremos:
Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em
O que possibilita que a gente corte a raíz:
Cortanto com (para isso, devemos considerar que não é domínio dessa função (e realmente não é).
E podemos colocar em evidência no lado direito da equação...
Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o isolado...
Agora para finalizar é só substituir no nosso resultado.
Passo 5
Passo 6
Podemos tentar escrever isso de uma forma melhor...
Lembra que essa raíz pode ser aberta na divisão de duas raízes:
E por fim, ficamos com:
Voilá, taí a nossa resposta.