USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 6.1e
6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
e)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, queremos obter a derivada da função
Como podemos fazer isso? 🤔
Já adianto que pra essa função, vamos apelar para o teorema fundamental do cálculo.
Usamos esse teorema quando não podemos aplicar métodos convencionais para se obter uma derivada, como por exemplo em derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.
Sacou? Bora começar! 😎
Passo 2
A função é dada por .
E portanto, sua derivada é dada por
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então podemos derivar cada termo individualmente
Primeiro vamos em busca da derivada de
Perceba que se esse termo fosse uma função isolada, seria uma função composta já que temos uma função onde é outra função ...
Nesses casos, aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada. Na regra da cadeia calculamos o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja
Se chamarmos o termo de podemos derivar pelo método de derivação polinomial e a derivada de é dada pelo teorema fundamental do cálculo
Substituindo por de volta e organizando o resultado
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Agora vamos derivar o termo e para facilitar, vamos chamá-lo de .
Perceba que vamos aplicar a regra da cadeia novamente...
Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, obtemos que
Voltando para ...
Substituindo os resultados em
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
