UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 20 - Alternativa s)
Derive:
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função
Essa função é um quociente de duas funções da forma , e portanto, pode ser resolvida aplicando a regra do quociente
Só basta identificar quem são as funções. No entanto, devido ao formato de e , ainda precisaremos utilizar a regra do produto e a regra da cadeia! Mas vamos com calma! Quando chegarmos lá! A gente apresenta tudo que é necessário! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra do quociente, temos que e , ou seja, a regra do quociente toma a seguinte forma
Temos duas derivadas para resolver, a primeira utiliza a regra do produto e a segunda a regra da cadeia! Vamos fazer uma por vez! Saca só!
Passo 3
Vamos resolver a derivada
Ela é a derivada de um produto de funções da forma , e portanto, a sua derivada pode ser obtida pela regra do produto
Usando que e , temos que
Vamos tentar não esquecer o problema original e resolver estas duas derivadas primeiro! Bora lá!
Passo 4
Para a primeira das duas derivadas podemos usar a regra do tombo
e, para a segunda derivada, podemos lembrar que derivadas de exponenciais são conhecidas
ou seja, temos que
de forma que a nossa regra do produto toma a seguinte forma
Vamos resolver agora a derivada que precisava da regra da cadeia! Saca só!
Passo 5
A outra derivada que precisamos resolver é
ela é a derivada de uma função composta da forma , em que e . Aplicando a regra da cadeia
aplicando para a nossa função, temos que
Agora é só resolver as duas derivadas que surgiram! Vamos fazer isso! O que é que estávamos querendo calcular mesmo? Aaah é!! A derivada do enunciado! Não vamos esquecer! Vamos lá!
Passo 6
A derivada do logaritmo é conhecida, temos que
em que . Agora a outra derivada pode ser escrita como
Como a derivada de constantes são zero, e aplicando a regra do tombo, temos que
A nossa derivada pode ser escrita então da seguinte forma
Uff… Finalmente podemos juntar tudo no problema original! Saca só!
Passo 7
Estávamos tentando calcular a seguinte derivada
Acabamos precisando calcular uma derivada pela regra do produto e outra pela regra da cadeia, e obtivemos
Não dá para fazer muita coisa para reescrever, mas eu acho que ela fica mais bonitinha assim
A questão foi isso! Até a próxima! Tchau Tchau!