UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – AVA2 – Questão 1c
Calcule a primeira derivada de todas as funções abaixo
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma função! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui
Puxa, vida e agora? Como derivar isso?
Quando você tiver dentro do argumento de uma função, outra função, vamos usar a regra da cadeia
Supondo
A derivada da vai ser
Ou seja, vamos derivar a função mais ‘de fora’, mantendo como argumento a outra função. Depois multiplicar pela derivada desse argumento!
Parou por aqui? Ainda não! Você percebe que no argumento da exponencial temos uma outra função?
Então aqui vamos usar a regra da cadeia novamente!
Beleza? Mas relaxa, vamos fazer essas derivadas separadamente!
E é lógico que vou fazer passo a passo com você! Bora começar?
Passo 2
Nossa função é a seguinte
Vamos começar com a propriedade que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas
A derivada de é , bem tranquila! Nosso problema é achar a outra derivada!
A função mais de fora é a exponencial, já que a parte está no seu argumento! E nada mais justo que lembrarmos da derivada da exponencial
Então vamos lá! Vamos aplicar a regra da cadeia:
tudo bem até aqui?
Nossa missão agora é encontrar , bora lá?
Passo 3
Precisamos derivar agora essa função tangente
Mas dentro dela temos uma outra função! Sendo assim, vamos aplicar a regra da cadeia! A derivada da tangente é
Beleza?
A regra da cadeia nos diz para derivar a função de fora (mantendo o argumento) depois multiplicar pela derivada desse argumento. Então a derivada da nossa tangente fica assim
Agora precisamos derivar o argumento da tangente!
Aí temos
Belezinha? Agora é só retornar lá para nossa derivada da função original e substituir o resultado!
Passo 4
Nossa função era
A derivada da soma é a soma das derivadas, então
E que ficamos com
Aí do passo achamos que
E do passo
Juntando todos esses resultados
E é isso pessoal! Nossa resposta fica assim mesmo! Vamos treinar mais?