Use a derivação logarítmica para determinar dy / dx :

f) y = (1 + e^x)^x^2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função e pede para determinarmos d y d x através da derivação logarítmica.

Para entender o que é essa tal de derivação logarítmica, ela é dada de acordo com os seguintes passos:

  1. Devemos aplicar l n dos dois lados da igualdade;
  2. Derivamos implicitamente ambos os lados;
  3. Substituímos y por seu valor dado.

Não entendeu? Então vamos juntos!!

Passo 2

Aplicando l n dos dois lados da igualdade, temos:

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 + e x x 2 ∴

ln ⁡ y = x 2 ln ⁡ 1 + e x ∴

Derivando implicitamente ambos os lados, temos:

d d x ln ⁡ y = d d x x 2 ln ⁡ 1 + e x ∴

d y d x ∙ 1 y = 2 x ln ⁡ 1 + e x + x 2 1 1 + e x e x ∴

d y d x = y 2 x ln ⁡ 1 + e x + x 2 1 1 + e x e x ∴

Substituindo y :

d y d x = 1 + e x x 2 2 x ln ⁡ 1 + e x + x 2 1 1 + e x e x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = 1 + e x x 2 2 x ln ⁡ 1 + e x + x 2 1 1 + e x e x

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