Listas Cálculo 1 – UAMat – UFCG – Lista 2 – Derivadas – 19b
19 - Use a derivação logarítmica para calcular:
Passo 1
Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.
Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:
E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:
E no lado esquerdo da expressão temos que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:
O nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...
Passo 2
Temos nesse caso que:
Aplicando dos dois lados:
Perceba que podemos abrir essa raíz na multiplicação de duas raízes:
Antes de prosseguir, perceba que por se tratar da raíz de um termo elevado ao quadrado, podemos mandar essa raíz embora, ficando então com:
Aplicando a propriedade do logaritmo da multiplicação é a soma dos logaritmos, teremos:
O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!
Passo 3
Precisamos agora encontrar a derivada de ....
Para isso, vamos lembrar que e aplicando a regra do peteleco teremos:
E por fim lembrar que
Sendo assim temos:
E analogamente, temos:
Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia. E a derivada de é igual a
Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!
Passo 4
A gente tinha que
E substituindo as derivadas teremos:
Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em
O que possibilita que a gente corte a raíz:
Podemos aqui reescrever o denominador como sendo igual a para então fazermos a soma das frações do lado da direita da equação:
Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o isolado...
Agora para finalizar é só substituir no nosso resultado.
Passo 5
Passo 6
Lembra que essa raíz pode ser aberta na multiplicação de duas raízes e que , portanto, teremos:
Sendo assim, podemos multiplicar e cortar o termo
Voilá, taí a nossa resposta.