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Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

2. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determine (se existirem) os pontos onde ela se anula.

b. g u = u 2 e - u

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos uma derivada para resolver que é um produto de função exponencial (a parte e - u ) e uma função polinomial (a parte u 2 ).

Para quem lembra, a derivada de função exponencial é dada por:

y = a x

y ' = a x ln ⁡ a

Então quando a = e , temos que

y = e x

y ' = e x ln ⁡ e = e x

Mas para resolver essa derivada, vamos ter que usar também a regra do produto.

Bora lá!

Passo 2

Galerinha, a nossa função é

g u = u 2 e - u

Aplicando a regra do produto para derivar, ficamos com

g ' u = u 2 ' e - u + u 2 ( e - u ) '

g ' u = 2 u e - u + u 2 - e - u

Colocando e - u em evidência, ficamos com,

g ' u = e - u 2 u - u 2

Agora precisamos ver onde a derivada irá zerar!

Passo 3

Fazendo,

g ' u = e - u 2 u - u 2 = 0

Como a parte e - u não pode zerar, para essa função temos que

2 u - u 2 = 0

u 2 - u = 0

Logo, para essa função zerar, temos que u = 0 ou u = 2 .

Prontinho!

Resposta

  • g ' u = e - u 2 u - u 2
  • u = 2 e u = 0

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