USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 6.1g
6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
g)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos que obter a derivada da função .
Como vamos fazer isso? 🤔
A primeira coisa a se fazer nesses casos é analisar a função e identificar o que podemos usar a nosso favor.
Nesse caso, vemos que a função se trata de uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo como onde .
Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
A função é dada por e portanto, sua derivada será
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então vamos tratar cada termo separadamente.
Começando por podemos ver que a função interna é dada por e a função externa por .
Aplicando a regra da cadeia, temos
Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial as derivadas de e são
Portanto, a derivada desse termo é
Voltando para ...
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Agora vamos tratar do termo
Podemos reescrevê-lo como
E, portanto, sua derivada será
Aplicando a regra da cadeia para como a função externa e como a função interna, temos
A derivada de é obtida pela regra do produto, veja só
E novamente, a derivada de é obtida pela regra da cadeia...
E para o termo , aplicamos a regra do expoente como
E mais uma vez, aplicando a regra da cadeia na derivada de , temos
Entendeu essa parte? 👀
Passo 4
Finalmente, obtendo as derivadas desse termo, temos que as derivadas de , e são obtidas pelo método de derivação polinomial
Já as derivadas dos termos , e são dadas pelo teorema fundamental do cálculo.
Substituindo na derivada de ...
Substituindo por , por e por de volta, vamos obter
Simplificando os expoentes...
E substituindo os resultados em
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
