UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.6 – Questão P1i
Determine a derivada das funções abaixo
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui
E pediu a derivada!
A função é uma soma de 3 termos, certo? Sendo assim, precisamos lembrar que a derivada de uma soma é a soma das derivadas!
Então o que podemos fazer é encontrar a derivada de cada um desses termos e depois somar todos eles, belezinha?
Temos três termos
A ideia é calcular a derivada de cada um desses termos e juntar tudo no final!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro a derivada de
Essa função é uma exponencial. Para calcular a derivada vamos relembrar da fórmula da derivada de uma função exponencial de base qualquer:
No nosso caso , sendo assim sua derivada fica
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos para a derivada do segundo termo!
O segundo termo é
Aqui temos uma função logarítmica e como recordar é viver, a derivada de uma função logarítmica de base e logaritmando é:
No nosso caso , assim a derivada dessa função é:
Beleza? Vamos para o último termo?
Passo 4
O terceiro termo é: . E aqui mora o perigo!
Embora esse termo contenha duas funções conhecidas nossas, o polinômio e o logaritmo natural, esse termo é o PRODUTO delas! Então precisamos aplicar a regra do produto na hora de derivar!
A regra do produto nos diz que a derivada de uma função que é o produto de duas funções e é:
Beleza?
Então além de aplicar a regra do produto, precisamos saber a derivada de funções polinomiais e logarítmicas, para aplicar ali em cima na regra do produto
Voltando ao nosso termo:
Podemos dizer que ele é a multiplicação de com
Então:
Beleza? Agora a regra do produto:
Beleza? Vamos juntar todos os resultados?
Passo 5
Nossa função era:
a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
E resgatando os valores dos passos 2, 3 e 4:
E taí nosso resultado!
Beleza?
Espero ter ajudado!