UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 20 - Alternativa c)
Derive:
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função
Vamos usar uma técnica ensinada nesta lista de exercícios para resolver esta questão! Belezinha? A técnica será a derivação logarítmica, como fazemos isso? Se trata de usar e abusar das propriedades do logaritmo para simplificar a equação (1). Bora? Vem comigo!
Passo 2
A primeira coisa que podemos fazer é aplicar a função logaritmo em ambos os lados da equação (1) para obter
E isso ajuda no que? Vamos primeiro lembrar que
Ou seja, podemos escrever que
A utilidade disso está no fato de que existe a seguinte propriedade do logaritmo
E, portanto, podemos eliminar a raiz de nossa derivada para obter
Será que conseguimos simplificar ainda mais? Claro que sim! Vem comigo!
Passo 3
Lembra de mais alguma propriedade do logaritmo para usarmos? Temos também a seguinte
Ou seja, podemos escrever a nossa função como
Maravilha! Agora para calcularmos nossa derivada é apenas lembrar de algumas derivadas de logaritmo e da regra da cadeia! Vamos lá!
Passo 4
Primeiro, a regra da cadeia é tal que
Em todas os termos das nossas derivadas podemos identificar que , portanto, usando que
Podemos escrever nossa derivada para , e , como
Ótimo! Estamos quase lá! Agora falta só aplicar a regra do tombo! Vem comigo!
Passo 5
Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja
e, lembrando que a derivada de uma constante é 0
Podemos aplicar a regra do tombo
Para obter
Simplificando e isolando , que é a derivada desejada, temos que
Como temos que
Podemos finalmente escrever que
A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!