UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 19 - Alternativa f)
Use derivação logarítmica para calcular:
Passo 1
Eaew, beleza?
O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função
Mas, é pedido para calcular utilizando o método de derivação logarítmica! Que método é esse? O método se trata de utilizar propriedades do logaritmo para simplificar a função dada e juntamente com a regra da cadeia obter o resultado! Método que é útil quando se tem produtos e razões de polinômios como na equação (1). Saca só!
Passo 2
A primeira coisa a se fazer é aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação (1) da seguinte maneira, temos que
Parece ter ficado mais complicado? Mas, saca só! Primeiro vamos lembrar que
E, a primeira propriedade do logaritmo que será útil para nós é
De forma que podemos escrever a nossa função como
Sacou a ideia? Já conseguimos sumir com a raiz, será que ainda conseguimos simplificar mais? Vamos lá!
Passo 3
Nós ainda temos a seguinte função
Se lembrarmos a seguinte propriedade do logaritmo
Podemos reescrever a nossa função como
Começando a ficar mais simples, não é? Ainda pode ficar mais! Vem comigo!
Passo 4
Ainda precisamos simplificar a função que está da seguinte maneira
Para isso, vamos usar mais uma propriedade do logaritmo
Obtendo finalmente para a nossa função
Ótimo! Agora a nossa derivada se tornou uma derivada de uma soma de logaritmos! O que é bem mais simples de resolver do que o problema original! Bora lá!
Passo 5
Temos que obter a seguinte derivada
Nós estamos com a função no seguinte formato
Como no lado esquerdo temos e não simplesmente vamos precisar utilizar a regra da cadeia
Vai ser útil para nós considerar em todas as derivadas que , em que muda para cada termo acima! Ou seja, nossas derivadas serão
Ou seja, aplicando em nossa função temos que
Lembra como se calcula cada uma das derivadas que faltaram? Vamos fazer isso no próximo passo!
Passo 6
Primeiro, vamos lembrar que derivadas da soma é a soma das derivadas, ou seja, temos que
E, também que a derivada de qualquer constante é zero, ou seja
Por último, mas não menos importante, temos a regra do tombo
Usando tudo isso, a derivada do lado direito da nossa função se torna
Ou, simplificando, temos que
Como temos que a equação (1) nos diz que
Temos finalmente que
A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!