Listas Cálculo 1 – UAMat – UFCG – Lista 2 – Derivadas – 19d
19 - Use a derivação logarítmica para calcular:
Passo 1
Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.
Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:
E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:
E no lado esquerdo da expressão temos que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:
O nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...
Passo 2
Temos nesse caso que:
Aplicando dos dois lados:
Perceba que podemos abrir essa raíz na divisão de duas raízes:
E perceba que podemos cortar a raíz quadrado do termo do numerador, pois ele tem um expoente par, ficando portanto:
Agora vamos aplicar as propriedades de log da divisão, o que nos dará:
Perceba que aqui podemos aplicar outra propriedade do log, que é o famoso “peteleco” do log.
O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!
Passo 3
Precisamos agora encontrar as derivadas de e de
A de é fácil, vai dar .
Já para a derivada de ,
vamos lembrar que e aplicando a regra do peteleco teremos:
E por fim lembrar que
Sendo assim temos:
E analogamente, temos:
Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia.
Portanto,
Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!
Passo 4
A gente tinha que
E substituindo as derivadas teremos:
Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em
O que possibilita que a gente corte a raíz:
Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o isolado...
Agora para finalizar é só substituir no nosso resultado.
Passo 5
Passo 6
Voilá, taí a nossa resposta.