Considere um circuito RLC onde a força eletromotriz é , a resistência é , a indutância é e a capacitância é . Temos que a queda de tensão no indutor, no capacitor e na resistência é dada, respectivamente, por , onde q(t) é a carga no capacitor. A segunda Lei de Kirchoff afirma que a soma das quedas de tensão num circuito é igual à força eletromotriz.
a) Mostre que a carga no capacitor satisfaz uma EDO linear de segunda ordem.
b) Verifique que e são soluções fundamentais da equação homogênea.
c) Obtenha a solução geral da equação não homogênea. A carga no capacitor tende a zero quando t cresce?
d) Determine a carga q(t) do capacitor se a carga inicial é e a corrente inicial é .
Passo 1
Falaaa, pessoal! Como vocês estão? Bora começar mais essa questão da lista. No item a), Pela segunda Lei de Kirchoff temos que q(t) satisfaz a seguinte equação,
Usando que , a resistência é , a indutância é e a capacitância é , a equação acima fica,
Passo 2
Para o item b), consideramos primeiro , temos:
Segue que:
Isso mostra que (t) é solução da equação homogênea. Fazendo para , também nos resulta em resultado homogêneo por respeitar a mesma regra.
Passo 3
Para o item c), Pelo método da variação dos parâmetros, a solução geral é:
Onde,
E,
Segue que:
de modo que a carga no capacitor tende a zero quando cresce, uma vez que,
Passo 4
Para determinar isso no item d), temos que derivar a função e entender as condições inciais dadas. Derivando
Temos
Usando as condições iniciais dadas,
Concluímos que:
Cuja única solução é:
Portanto, a solução do PVI é: