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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1d

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

d ) x 2 y ' + x y = 1

Passo 1

Oi, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

x 2 y ' + x y = 1

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):

  • x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!

Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um y ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante!

x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

x 2 y ' + x y = 1

Vamos começar dividindo tudo por x 2 (aqui precisamos remover o x = 0 da validade da solução):

y ' + 1 x y = 1 x 2

Pronto! Temos que

P x = 1 x ; Q x = 1 x 2

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 1 x d x = e ∫ d x x = e ln ⁡ x = x

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = x

Obs.: como nosso fator integrante envolve um logaritmo em uma das etapas, precisamos que no final a solução também seja com x > 0 , para garantir a validade dela.

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' 1 x y = 1 x 2

Aí temos

P x = 1 x ; Q x = 1 x 2

E o fator integrante μ

μ = x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x = ∫ x . 1 x 2 d x

Agora basta resolver!

y . x = ∫ 1 x   d x = ln ⁡ x + c

Aí nossa solução fica assim

y = ln ⁡ x x + c x

y x = 1 x ln ⁡ x + c x

E o intervalo de validade? Lembra que retiramos o x = 0 ? No nosso fator integrante surgiu um ln ⁡ x , então precisamos garantir que esse x seja positivo, sendo assim

I = ( 0 , + ∞ )

E é isso! Terminamos! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = 1 x ln ⁡ x + c x

I = ( 0 , + ∞ )

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