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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

A solução, y x , do problema de valor inicial x y ' - y = x ln ⁡ x ,     y 1 = 3 , é:

  1. y x = 1 2 x   ln ⁡ x 2 + 3 x
  2. y x = 3 ln ⁡ x + 1 2 x
  3. y x = 3 x   ln ⁡ x 2
  4. y x = 3 x ln ⁡ x + 1 2 x
  5. y x = 1 2   ln ⁡ x 3 + x

Passo 1

Ele deu para gente uma EDO de primeira ordem.

x y ` - y = x ln ⁡ x

Percebemos que a gente consegue colocar ela nessa forma :

y ` + A x y = B ( x )

O que é uma EDO linear. A gente vai precisar achar o fator integrante, usar a formula para y ( x ) e achar C pela informação inicial que ele deu.

y x = 1 I x ∫ I x B x d x +   C

Passo 2

x y ` - y = x ln ⁡ x

A gente tem que deixar esse y ' multiplicado só por um coeficiente 1 para achar o fator integrante, então vamos dividir tudo por x :

y ' - y x = ln ⁡ x

A x = - 1 x ,     B x = ln ⁡ x

Calculando I x :

I x = e ∫ A x d x = e ∫ - 1 x d x = e - ln ⁡ x

e - ln ⁡ x = e ln ⁡ 1 x = 1 x

Passo 3

Vamos achar: ∫ I x B x d x

∫ 1 x ⋅ ln ⁡ x d x

Fazendo a substituição u = ln ⁡ x ,   d u = 1 x d x :

∫ u d u = u 2 2 = ln ⁡ x 2 2

Passo 4

Substituindo tudo o que a gente achou em:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x +   C

y x = 1 1 x ln ⁡ x 2 2 + C = x ln ⁡ x 2 2 + C x  

Passo 5

Agora usamos a informação dada pelo enunciado para achar C :

y 1 = 3

y 1 =   1 ln ⁡ 1 2 2 + C ⋅ 1 = 3 ∴ C = 3

Nossa solução fica:

y x = x ln ⁡ x 2 2 + 3 x

Essa é a letra a.

Resposta

Letra a

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