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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1g

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

g ) x 2 y ' + x x + 2 y = e x

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

x 2 y ' + x x + 2 y = e x

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos:

  • x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!

Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um y ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante!

x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

x 2 y ' + x x + 2 y = e x

Vamos começar dividindo tudo por x 2 (aqui precisamos remover o x = 0 ) da solução:

y ' + x 2 + 2 x x 2 y = e x x 2

y ' + 1 + 2 x y = e x x 2

Pronto! Temos que

P x = 1 + 2 x ; Q x = e x x 2

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 1 + 2 x d x = e ∫ d x . e 2 ∫ d x x = e x . e 2 ln ⁡ x = e x . e ln ⁡ x 2   = x 2 e x

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = x 2 e x

Obs.: como nosso fator integrante envolve um logaritmo em uma das etapas, precisamos garantir que no final a solução também seja com x > 0 , para garantir a validade dela.

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' + 1 + 2 x y = e x x 2

Aí temos

P x = 1 + 2 x ; Q x = e x x 2

E o fator integrante μ

μ = x 2 e x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x 2 e x = ∫ x 2 e x . e x x 2 d x

Agora basta resolver!

x 2 e x y = ∫ e 2 x d x = e 2 x 2 + c

Aí nossa solução fica assim

y = e 2 x 2 x 2 e x + c x 2 e x

y x = e x 2 x 2 + c x 2 e x

E o intervalo de validade? Lembra que retiramos o x = 0 ? No nosso fator integrante surgiu um ln ⁡ x , então precisamos garantir que esse x seja positivo, sendo assim

I = ( 0 , + ∞ )

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

y x = e x 2 x 2 + c x 2 e x

I = ( 0 , + ∞ )

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