UnB, Cálculo 2, Lista 2 - 2021.1, Questão 05
05) Vamos investigar a dinâmica, num dado país, da relação entre a renda produzida no tempo e o capital acumulado até o tempo através do famoso modelo Solow-Swan. Temos que a renda é dada por uma função Cobb-Douglas do capital e do trabalho, de modo que:
E que o capital se acumula por uma taxa de poupança constante positiva e se deprecia a uma taxa constante positiva , de modo que:
Denotando a renda e o capital per capita, respectivamente, por e por , a taxa de crescimento do trabalho por , a razão riqueza pela renda no tempo por e o seu limite quando tende por infinito por , responda os seguintes itens.
a) Mostre que .
b) Use o item anterior para mostrar que .
c) Mostre que e conclua que
d) Use os itens anteriores para mostrar que
e) Supondo que constante e que , mostre que:
f) Conclua que .
Passo 1
Eaí galeraa, tudo tranquilo com vocês?
a) Essa questão assusta um pouco porque tem infinitas variáveis, com infinitas equações, e a gente fica meio perdido quando lê ela pela primeira vez (e na segunda e terceira também né?! Haha).
Mas sem pânico!
O negócio é ir por partes!
No item a é pedido para mostrarmos que
Como é que a gente pode fazer isso?
Bom, primeiro bora olhar no meio de tanta equação quais que envolvem ou . Tem duas:
Pô, essa segunda não tem muito a ver com o que queremos provar, nem aparece nela por exemplo. Então vamo usar a primeira.
Pra começar vamos calcular pela regra do quociente, daí temos:
Massa! Vamo olhar de novo pro que queremos provar:
Vê que o primeiro termo já tá igual. Precisamos só mexer nesse segundo. Basicamente, queremos chegar em:
Então, vamo procurar no enunciado alguma equação que envolva .
Perfeito, se usarmos ela no lado esquerdo da nossa equação, temos:
Mas . Assim, temos:
Voltando à equação que encontramos ao aplicar a regra do quociente na derivação de , temos:
Aí agora é só substituir o resultado top que achamos:
Como queríamos demonstrar (c.q.d)!
Prontinho, bora pra próxima 😊
Passo 2
b) Nesse item devemos mostrar que:
Mas po, pelo resultado do item anterior, o que realmente estamos querendo mostrar é que:
Vamos partir do lado esquerdo e chegar no lado direito, beleza?
Bora pensar um pouco. No lado direito está aparecendo e , então temos que procurar no enunciado uma equação que envolva esses dois termos. Tem apenas uma, que é:
Perfeito! Podemos substituir por essa expressão, daí:
Mas, pelo enunciado, lembra que:
Substituindo na equação, temos:
O que é exatamente onde queríamos chegar!
Excelente, matamos mais um item 😊
Passo 3
c) Agora a brincadeira muda um pouco de variável. Queremos mostrar que:
Bom, pelo enunciado a gente sabe que:
Mas sabemos também que:
Como , podemos escrever que:
Substituindo esse resultado na nossa equação para , temos:
Logo:
Boa, matamos a primeira parte.
Agora devemos mostrar também que:
Massa! Para isso, vamos derivar o resultado que encontramos anteriormente.
Mas lembra que no começo desse item encontramos:
Substituindo em , chegamos a:
Excelente, demonstramos mais uma expressão 😊
Passo 4
d) Vamos terminar essa questão craques em demonstração de expressões hein galera?!
Dessa vez precisamos mostrar que:
A ideia vai ser partir do lado esquerdo e chegar no lado direito da equação.
Nos aproveitando do resultado do item anterior, temos:
Daí:
Mas, lá do resultado do item do item b, temos que:
Substituindo esse resultado, temos:
Aí já pra matar esse item de uma vez, sabemos que . Assim:
c.q.d
Muito bom pessoal!
Passo 5
e) O enunciado nos pede para, considerando , calcularmos a solução do PVI:
Mostrando que essa solução vale:
Beleza! Bora lá.
Rearranjando nossa equação diferencial, temos:
Sabe o que é issooo?
Uma EDO linear de ordem. Sempre que temos uma equação do tipo:
trata-se de uma EDO linear de ordem, cuja solução geral é dada por:
Onde .
Massa! Então, pela equação que encontramos para esse caso, temos:
Logo:
Além disso, também devemos calcular:
Show! Agora, podemos substituir esses resultados na nossa solução geral, teremos:
Top! Essa é a solução geral levando em conta os parâmetros da questão. Substituindo a condição inicial, podemos determinar a constante .
Substituindo de volta na solução geral, teremos a solução particular:
Prontinho 😊
É exatamente o que o enunciado pediu.
Passo 6
f) Pra finalizar devemos mostrar que .
Só que pelo enunciado, . Então:
Mas esse limite é do tipo limitado/infinito, logo vale zero. Assim:
Como queríamos demonstrar 😊
Perfeito, galera! Viram que a questão tem muita informação, muitas variáveis, mas é só ir com calma, item por item, equação por equação, que dá tudo certo 😉
Até a próxima!
Resposta
a) Resolução no texto.
b) Resolução no texto.
c) Resolução no texto.
d) Resolução no texto.
e) Resolução no texto.
f) Resolução no texto.