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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

d y d x - 2 x y = x 2 cos ⁡ x

Passo 1

Primeira coisa, vamos colocar a equação na forma y ' x + p x ⋅ y x = g ( x ) e identificar cada uma dessas funções, então:

p x = - 2 x g x = x 2 cos ⁡ x

Passo 2

Calcular a integral ∫ p x d x sem adicionar a constante e ache v x = e ∫ p x d x

∫ p x d x = - ∫ 2 x d x = - 2 ln ⁡ | x |

Assim ficou :

∫ p x d x = - 2 ln ⁡ | x |

v x = e ∫ p x d x

v x = e - 2 ln ⁡ x = x - 2

Passo 3

Calcular a integral ∫ g x ⋅ v ( x ) d x + C

∫ x 2 cos ⁡ x ⋅ x - 2 d x + C = ∫ cos ⁡ x   d x = sen ⁡ x + C

Passo 4

Calcule finalmente y x = 1 v ( ∫ g x v ( x ) + C )

y x = 1 x - 2 ⋅ sen ⁡ x + C

y x = x 2 ( sen ⁡ x + C )

Resposta

y x = x 2 ( sen ⁡ x + C )

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