UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Listas - Teste 9 – Lista da Prof. Thais Dalberto - Lista 1 –questão 14
Resolva o problema de valor inicial
, .
E determine onde a solução atinge seu valor máximo.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial para encontrarmos a solução da equação.
Mas como podemos fazer isso?
Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.
Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?
Então bora junto aqui!!
Passo 2
Bom... temos que:
Se pudermos separar as variáveis, podemos aplicar o método da separação de variáveis. Isso significa jogar tudo que tem pra um lado e o que tem pro outro.
Separando a equação e integrando, temos:
Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
Passo 3
Dessa forma, aplicando a condição inicial , temos:
Detalhe: Na expressão, observamos que o resultado é obtido para e para um sinal positivo na raiz.
Dessa forma, o resultado é dado por:
Passo 4
Além disso, o valor máximo da solução ocorrerá quando . Portanto:
Em que é uma constante de tal forma que .
Passo 5
Dessa forma, para esses valores de , temos:
Dessa forma, o máximo é dado em
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
